Atelier Montessori #13 – Algèbre – Addition et soustraction d’une fraction de dénominateurs différents
Âge : 8 ans et +
Matériel :
C’est le même que pour la découverte et l’écriture des fractions, des crayons de couleur et du papier calque.
Présentation :
Equivalences et simplifications
Il est très important de faire travailler l’enfant sur les équivalences de fractions de manière approfondie avant de commencer avec lui les opérations sur des fractions de dénominateurs différents. Il doit pouvoir “jongler” avec les équivalences avant de se lancer dans l’aventure.
Voici donc quelques exercices d’entraînement.
Multiplication du numérateur et du dénominateur par un même nombre
Vous pouvez reprendre les affiches faites par l’enfant ou le faire travailler en sensoriel sur de nouveaux exemples.
Enlevez une section d’1/4 de son support et demandez à l’enfant de remplir l’espace laissé libre par plusieurs sections identiques, puis de noter les équivalences sur une feuille.
Laissez le matériel en place et reproduisez l’expérience avec 1/2. Pour l’aider à formuler la règle, posez les opérations de la façon suivante :
Demandez à l’enfant : « Par quoi multiplie-t-on le 1 de 1/4 pour obtenir le 2 de 2/8 ? » Réponse : « Par 2 »
« Par quoi multiplie-t-on le 4 de 1/4 pour obtenir le 8 de 2/8 ? » Réponse : « Par 2 »
Passez à l’équivalence suivante : « Par quoi multiplie-t-on le 1 de ½ pour obtenir le 3 de 3/6 ? » Réponse : « Par 3 »
« Par quoi multiplie-t-on le 2 de ½ pour obtenir le 6 de 3/6 ? » Réponse : « Par 3 aussi » Etc…
A la fin, posez la question :
« Que se passe-t-il lorsqu’on multiplie le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre ? » Réponse : « On obtient une fraction équivalente ».
La règle est donc : « On peut multiplier le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre sans changer la valeur de cette fraction. »
Faites compléter l’affiche.
Division du numérateur et du dénominateur par un même nombre
Annoncez que vous allez faire le même travail mais dans l’autre sens.
Sortez 1/2 du support et demandez à l’enfant de remplir l’espace avec des sections identiques entre elles. Rappelez-lui qu’il faut procéder de façon systématique en les essayant toutes à tour de rôle pour ne pas risquer de laisser des solutions de côté. L’enfant trouvera 4/8, 3/6, 2/4 et 1/2 et les notera sur une feuille.
Montrez-lui « 5/10 équivaut à ½ » et demandez-lui : « Par combien faut-il diviser le 5 de 5/10 pour obtenir le 1 de 1/2 ? » Réponse : « Par 5 ».
« Par combien faut-il diviser le 10 de 5/10 pour obtenir le 2 de 1/2 ? » Réponse : « Par 5 aussi ».
Faites la même chose avec « 4/8 équivaut à ½ », puis avec 3/6 et enfin avec 2/4.
« Que se passe-t-il quand on divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre ? » Réponse : « On obtient une fraction équivalente. »
La règle est donc : “On peut diviser le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre sans changer sa valeur.”
L’enfant complètera de nouveau l’affiche des opérations.
Lorsqu‘il maîtrisera parfaitement tout cela, vous pouvez passer aux opérations sur des fractions de dénominateurs différents.
Addition de fractions de dénominateurs différents
Commencez par le sensoriel pour que l’enfant perçoive par lui-même qu’il est impossible d’additionner des fractions de dénominateurs différents sans passer par une opération intermédiaire faisant intervenir les équivalences.
Pour cela, videz le support des neuvièmes et demandez à l’enfant d’y additionner les sections de 1/3 et de 2/9. Il posera une section d’1/3 et ajoutera deux sections d’1/9.
Demandez-lui alors comment on peut appeler la fraction obtenue. Il est bien sûr bloqué.
Demandez-lui alors : « As-tu une idée ? » Il est possible qu’il trouve seul, habitué aux équivalences et aux changes.
Sinon aidez-le : « Peux-tu remplacer le tiers par des neuvièmes ? » Réponse : « Oui. »
« Combien ? -Réponse : « 3 »
Laissez-le faire la manipulation et noter le résultat de l’opération : 1/3 + 2/9 = 5/9.
Demandez-lui alors s’il aurait été possible de remplacer les 2/9 par des tiers. La réponse est non et vous continuez en faisant faire à l’enfant deux ou trois opérations du même genre.
Prenez maintenant un autre type d’exemples dans lesquels on peut simplifier la fraction avant de faire l’addition.
Exemple :
2/3 + 3/9 =
Fort des exemples précédents, l’enfant écrira :
2/3 + 3/9 = 6/9 + 3/9 = 9/9 = 1
Demandez-lui alors s’il aurait pu transformer 3/9 en tiers. La réponse est oui, en 1/3. Il écrira les nouvelles étapes : 2/3 + 3/9 = 2/3 + 1/3 = 1.
L’enfant fera quelques opérations de ce genre et notera ses résultats.
Abordez alors un nouveau cas de figure : 1/2 + 2/3. « Peux-tu remplir 1/2 avec des tiers ? » Réponse : « Non » « 2/3 avec des demis ? »
– « Non plus. »
« Tu as raison. On va essayer de se servir des équivalences. Trouve des fractions équivalentes à 1/2.
Réponse : « 2/4, 3/6, 4/8 ».
« Fais la même chose pour 2/3, 4/6, 6/9 ».
Faites alors observer les deux listes à l’enfant. Il remarquera peut-être de lui-même les points de rencontre, sinon vous l’aiderez : 1/2 = 3/6 et 2/3 = 4/6.
Ecrivez ensemble les étapes de l’opération : 1/2 + 2/3 = 3/6 + 4/6 = 7/6 = 1 + 1/6
Reprenez deux ou trois fois l’exercice avec des fractions différentes.
Formulez la règle avec l’enfant : « Pour additionner des fractions de dénominateurs différents, il faut d’abord les ‘réduire’ au même dénominateur ».
Puis faites-lui écrire la règle sur l’affiche toujours avec une opération en exemple. On est encore dans le sensoriel. L’abstraction viendra plus tard.
Soustraction de fractions de dénominateurs différents
Procédez de la même façon, en faisant des opérations du type :
7/9 – 2/3 = 7/9 – 6/9 = 1/9 ou 5/8 – 1/4 = 5/8 – 2/8 = 3/8.
Comme pour l’addition, le but est de montrer que pour soustraire des fractions de dénominateurs différents, il faut d’abord les réduire au même dénominateur.
N’oubliez pas de faire compléter l’affiche à l’enfant.
La réduction au même dénominateur (approche graphique)
Cette activité a simplement pour but de faire pratiquer à l’enfant des réductions de fractions sans le lasser, en variant l‘approche et le support.
Commencez avec l’addition 2/3 + 1/5 =
Préparez sur du papier calque un rectangle divisé horizontalement en 3 tiers et un autre de même taille, divisé en 5 cinquièmes verticalement.
Demandez à l’enfant de les superposer et de les décalquer. Il obtiendra :
Il comptera alors le nombre de carrés sur chaque rectangle : 15.
Chaque rectangle est donc divisé en quinzièmes.
Demandez à l’enfant de colorer 2/3 sur le premier rectangle (donc
10/15) et 1/5 sur le second (donc 3/15), puis de compter les carrés colorés, en tout.
Il obtiendra 13/15 colorés et posera l’opération complète :
2/3 + 1/5 = 10/15 + 3/15 = 13/15.
Amenez ensuite l’enfant à écrire l’opération abstraite :
Pour la soustraction, le principe est le même et vous pouvez reprendre les mêmes opérations.
L’enfant soustraira les secteurs colorés du deuxième rectangle au lieu de les ajouter. L’opération abstraite sera exactement du même type que pour l’addition.
Si nous reprenons les mêmes fractions :
La réduction au même dénominateur (passage à l’abstraction)
Cette étape ne doit être abordée que lorsque l’on constate chez l’enfant une maîtrise parfaite du calcul du PPCM.
Prenez alors par exemple l’opération 1/12 + 2/18 = et demandez à l’enfant de réduire au même dénominateur en utilisant le calcul du PPCM.
Il cherchera le PPCM de 12 et 18 en les décomposant en facteurs premiers :
12 = 2 x 2 x 3
18 = 2 x 3 x 3
PPCM (12 ; 18) = 2 x 2 x 3 x 3 = 36
36 = 12 x 3 et 36 = 18 x 2
L’enfant est, à ce stade, beaucoup plus avancé dans l’addition et la soustraction de fractions que dans la multiplication et la division. En principe, il est bien engagé dans l’abstraction, maintenant. Mais cela n’empêche pas de retourner au sensoriel chaque fois que cela rend les nouvelles découvertes plus faciles ou si vous voyez que cela “coince” un peu. Les apprentissages ne se font jamais de façon linéaire. Il y a toujours des paliers et même parfois des régressions. Continuez à avancer avec précaution, en vous assurant toujours de ne pas forcer le rythme de l’enfant.
Atelier descriptif pour les parents
Exercices
Addition et soustraction d’une fraction de dénominateurs différents – Montessori 13 – Exercices pdf