Cours sur les volumes pour la 11eme Harmos sur la boule et sphère.
La sphère :
La sphère de centre O et de rayon r est l’ensemble des points M du plan tels que OM=r.
Une sphère est donc « vide » : il s’agit d’un objet en 2 dimensions, dont on peut calculer l’aire.
Calcul de l’aire : l’aire A d’une sphère de rayon r est donnée par : A=4×πr^2.
Exemple : On considère une boule de rayon r = 5 cm. On calcule son aire :
A=4×π×5^2=4π×25=100π≈314,16 cm²
La boule :
Rappel : La boule de centre O et de rayon r est l’ensemble des points M de l’espace tels que OM≤r. Une boule est donc « pleine » : il s’agit d’un objet en 3 dimensions, dont on peut calculer le volume.
Calcul du volume : le volume V d’une boule de rayon r est donné par : V= 4/3 ×πr^3.
Exemple : On considère une boule de rayon r = 5 cm. On calcule son volume :
V= 4/3 ×πr^3=4/3×π5^3 =4/3×π×125=500/3 π≈523,6 cm^3.
Remarque : On exprimera parfois le volume en litres. On a 1m^3=1000 L.
Agrandissement et réduction :
Propriété : Lors d’un agrandissement ou une réduction de rapport k>0 :
Les longueurs sont multipliées par k.
Les aires sont multipliées par k².
Les volumes sont multipliés par k^3.
Exemple : On prend la boule et la sphère des parties précédentes :
Boule : agrandissement de rapport 2 r=5
Volume : multiplié par 2^3=8
V=523,6×8=4 188,8 cm^3 Sphère : réduction de rapport 0,5 r=5
Aire : multipliée par 〖0,5〗^2=0,25
A=314,16×0,25=78,54 cm^2
