Calcul littéral – Cours : 10ème Harmos – PDF à imprimer

Calcul littéral : 10eme Harmos – Cours

I) Rappels

1) Définition

Une expression littérale est une expression dans laquelle des nombres (souvent inconnus) ont été remplacés par des lettres. Si une expression contient plusieurs fois la même lettre, alors elle désigne le même nombre.

2) Conventions d’écriture

Afin d’alléger les écritures, on convient des règles suivantes :

· Le signe de la multiplication ( x ) disparaît :

– entre deux lettres : a x b s’écrit ab ;

– entre un nombre et une lettre : 3 x a ou a x 3 s’écrit 3a ;

– entre des nombres, des lettres et des parenthèses : 4 x a x (2x + 1) s’écrit 4a(2x+1).

· On conserve les parenthèses et le signe  x  dans certains cas :

5 x (-8) : des parenthèses pour séparer  x  et – ; 4 x 35 : sans le signe  x  on lirait 435.

Exemples : 2 x a = 2a ; 3 x a x a = 3aa = 3a² ; 4 x (a – 2) = 4(a – 2).

· Les facteurs s’écrivent dans l’ordre suivant :

1°) les nombres ; 2°) les lettres et dans l’ordre alphabétique ; 3°) les parenthèses.

a x 2 x b s’écrit 2ab ; a x ( x + 2) x (- 5) x b s’écrit -5ab(x + 2).

Exemples :

4c x (-5) x (-3a) = 60ac ;

3c x 2a x (-a) x 4d = -24a²cd ;

3a x (-6) b x 4c= -72abc.

II) Factoriser et réduire une expression littérale

1) Factoriser

Définition : Factoriser, c’est transformer une somme ou une différence en produit.

Soient a, b, c trois nombres relatifs, alors :

ab + ac = a (b + c) et ab – ac = a (b − c)

Pour factoriser une expression littérale, il peut être nécessaire de décomposer les termes

sous la forme de produits pour faire apparaître le facteur commun.

Exemples : 14a + 7 = 7 × 2a + 7 × 1

Le facteur commun est : 7 donc :

14a + 7 = 7 × (2a + 1) = 7 (2a + 1)

3x² – 15x = 3x × x – 3x × 5

Le facteur commun est : 3x donc :

3x² – 15x = 3x × (x – 5) = 3x (x – 5)

2) Réduire

Définition : Réduire une expression revient à l’écrire avec le moins de termes possibles.

Exemples : -2t + 5t = -2 × t + 5 × t

Le facteur commun est : t donc :

-2t + 5t = (-2 + 5) × t

= 3 × t

= 3t

5r² – r² = (5 × r²) – (1 × r²)

Le facteur commun est : r² donc :

5r² – r² = (5 – 1) × r²

= 4 × r²

= 4r²

 

Attention ! • 7x + 4 ne peut pas être réduit car il n’y a pas de facteur commun.

En effet : 7x + 4 = 7 × x + 2 × 2

• 7x² + 4x ne peut pas être réduit malgré le facteur commun x.

En effet : 7x² + 4x = 7 × x × x + 4 × x = (7x + 4)× x

• Mais : 7x + 4x = 11x et : 7x² + 4x² = 11x²

 

Exemple : 2x² – 3x + x² + 4 – 5x – 9

= 2x² + 1x² – 3x – 5x + 4 – 9

= 3x² – 8x – 5

 

Commentaires : On regroupe les termes « semblables » (x² avec x² ; x avec x ;constante avec constante). Enfin on les réduit.

III) Développer et réduire une expression littérale

Développer

Définition : Développer, c’est transformer un produit en une somme ou une différence.

Soient a, b, c trois nombres relatifs, alors :

a (b + c) = a (b + c) et a (b – c) = ab – ac

Exemple 1: -5(3x – 4)

= -5 × 3x – (-5) × 4

= -15x + 20

 

Commentaires : On distribue pour supprimer les parenthèses.On effectue les produits.

 

Exemple 2 : -(2a + 4b)

= -1 × (2a + 4b)

= -1 × 2a + (-1) × 4b

= -2a – 4b

 

Commentaires : On replace le facteur –1 « caché ». Ondistribue pour supprimer les parenthèses.Et on effectue les produits.

 

Exemple 3 : A = 2(x + 3) – (4 + 7x – x²) + (-2x² + 5) Commentaires :

A = 2(x + 3) – 1(4 + 7x – x²) + 1(-2x² + 5)

= 2×x + 2×3 – 1×4 – 1×7x + 1×x² – 1×2x² + 1×5

= 2x + 6 – 4 – 7x + x² – 2x² + 5

= x² – 2x² + 2x – 7x + 6 – 4 + 5

= –x² – 5x + 7

On replace les facteurs « cachés ». On distribue. On effectue les produits. On regroupe les termes « semblables ». Enfin on les réduit.

IV) Double distributivité

1) Propriété

Si a, b, c et d désignent des nombres positifs (non nuls) alors

on peut représenter le développement de (a + b)(c + d) par :

Remarque : les termes des développements de (a + b)(c – d),

de (a – b)(c + d) et de (a – b)(c – d) sont les mêmes que ceux de (a + b)(c + d).

La règle des signes permet de déterminer s’il s’agit du signe + ou du signe – entre deux termes.

Commentaires :

Attention aux signes !On regroupe les termes « semblables ».Enfin on les réduit.

(a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd

(a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd

(a – b)(c – d) = ac – ad – bc + bd

2) Exemples

· (-t + 3)(t + 4)

= -(t × t) – (t × 4) + (3 × t) + (3 × 4)

= –t² – 4t + 3t + 12

= –t² – t + 12

· 3x(3 + 4x) – (5x – 1)(5x + 1)

= 9x + 12x² – (25x² + 5x – 5x – 1)

= 9x + 12x² – 25x² – 5x + 5x + 1

= 12x² – 25x² + 9x + 1

= -13x² + 9x + 1

 

V) Pour approfondir

 

Les identités remarquables

 

Les formules
Développement				Factorisation
(a + b)2		=		a2 + 2ab + b2
(a – b)2		=		a2 – 2ab + b2
(a + b) (a – b)		=		a2 – b2

 

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