Calculer une probabilité - avec Mon Pass Maths : 11ème Harmos

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Calculer une probabilité : 11eme Harmos

Cas d’équiprobabilité.
Dénombrement et probabilités.
Lien entre fréquence et probabilité.
Questions de brevet.
Pour aller plus loin.

Prérequis : probabilités

Lors d’une expérience aléatoire, on appelle issue un résultat possible et évènement un résultat composé de plusieurs issues.

Lorsque l’on répète plusieurs fois une même expérience, on appelle fréquence d’un résultat le quotient : (nombre de fois où ce résultat apparait)/(nombre de fois où l^’ expérience est répétée).

Cas d’équiprobabilité.

Je décris le résultat d’une expérience aléatoire.

Il existe des expériences pour lesquelles chacune des issues a la même probabilité.
On parle dans ce cas de situation d’équiprobabilité, et il est alors simple de calculer la probabilité d’un évènement. Dans ce cas, nous avons pour un évènement A :
P(A)=(nombre d^’ issues composant A)/(nombre total d’issues)

Pour calculer la probabilité d’un évènement A dans une situation d’équiprobabilité, je dois donc :
① M’assurer qu’il s’agisse d’une situation d’équiprobabilité.
② Compter le nombre d’issues réalisant l’évènement A.
③ Diviser ce nombre par le nombre total d’issues.

Exemple : Je lance un dé à 6 faces et j’étudie l’évènement A « obtenir 2 ou 5 ».
Il s’agit bien d’une situation d’équiprobabilité car chacune des faces a la même probabilité.
L’évènement A est composé de 2 issues (2 et 5) pour un total de 6 issues.
On a P(A)=2/6=1/3

Lors d’une course d’orientation, chacun des 50 participants doit tirer au hasard un dossard de sport numéroté (de 1 à 50). Celui-ci définira l’ordre de départ des coureurs.
Mathéo tire en premier son dossard et s’intéresse à sa position de départ.
1. S’agit-il d’une situation d’équiprobabilité ?
2. Donne l’ensemble des issues, puis la probabilité que Mathéo obtienne le dossard ci-contre.
3. Quelle est la probabilité qu’il parte parmi les 3 premiers ? Parmi les 10 derniers ?
4. Mathéo a tiré le dossard 15. Carla tire en second son dossard. Quelle est la probabilité qu’elle parte avant Mathéo ?
Mehdi choisit de regarder un film sur son application télé. Il a dans sa bibliothèque 35 films d’horreur, 20 d’action et 25 policiers. Il décide d’appuyer sur la fonction « aléatoire » de l’application.

1. Quelle est la probabilité qu’il regarde un policier ? Justifie.
2. Quelle est la probabilité qu’il ne regarde pas un film d’action ?
3. Sa sœur Latifa possède 60 films dans sa bibliothèque. Elle sait qu’en utilisant la fonction aléatoire elle a une probabilité de 0,35 de regarder une comédie. Combien possède-t-elle de comédies ?

Dénombrement et probabilités.

Dénombrer des issues pour calculer une probabilité.

Lorsque l’on répète 2 fois une même expérience, il peut être utile de s’aider d’un tableau pour dénombrer (c’est-à-dire compter) les issues favorables.
Ceci permettra ensuite d’effectuer des calculs s’il s’agit d’une situation d’équiprobabilité.

Exemple : On lance 2 fois une pièce équilibrée.
On note les évènements : A « obtenir 2 fois pile » et B « obtenir 1 fois pile et une fois face ».
Pour dénombrer les issues, on construit un tableau à double entrées, chaque entrée correspondant à un des lancers.
2e lancer
Pile Face
1er lancer Pile P P P F
Face F P F F

Evènement A : il y a une seule issue favorable : (P P).
Evènement B : il y a 2 issues favorables (P F) et (F P).
Il y a un total de 4 issues qui ont la même probabilité (car pour chaque lancer, pile et face sont équiprobables).

On a donc P(A)=1/4=0,25 et P(B)=2/4=1/2=0,5.

Marco teste son programme informatique qui affiche un nombre entier aléatoire entre 1 et 10. Il le lance 2 fois à chaque fois et s’intéresse au nombre de fois où est affiché un nombre pair.

1. Pour un test, les évènements « obtenir un nombre pair » et « obtenir un nombre impair » sont-ils équiprobables ?

2. Complète le tableau à double entrée ci-contre.

3. Quelle est la probabilité d’obtenir 2 nombres impairs ?
Dans un jeu de société, on doit lancer 2 dés. On fait alors la somme des 2 nombres obtenus et l’on avance d’autant de cases sur le plateau.
Complète le tableau suivant pour dénombrer les issues.
Dé 1 →
Dé 2 ↓ 1 2 3 4 5 6
2. Déduis-en la probabilité d’avancer de 10 cases.

Voici la répartition des élèves de 6e et de 5e d’un collège en fonction du sexe.
1. Complète le tableau.
2. Si on croise au hasard un de ces élèves, quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’une fille ?

Un magasin de sport fait le point sur les ventes de ses 4 articles du rayon vêtements de tennis au cours des derniers mois.
1. Un nouveau client entre dans le magasin pour acheter un vêtement de tennis. Selon ces statistiques, quelle est la probabilité :
a. Qu’il achète un T-shirt vert ?
b. Qu’il achète un short ?
2. Un client souhaite acheter un T-shirt. Quel est la probabilité qu’il en prenne un rouge ?
Lien entre fréquence et probabilité.

Faire le lien avec la fréquence pour estimer
une probabilité

Dans certaines situations, la probabilité d’un évènement n’est pas directement connue.
Il est cependant possible de l’estimer. Pour cela :
① Je répète un grand nombre de fois l’expérience (on peut aussi la simuler).
② Je calcule la fréquence d’apparition de l’évènement.
③ J’assimile la probabilité à la fréquence calculée.
Bien sûr, la fréquence ne sera pas forcément égale à la probabilité. Cependant, plus le nombre de répétitions est grand, plus les 2 valeurs vont être proches !
Il s’agit d’un théorème de Mathématiques très puissant que tu démontreras peut-être un jour !

Exemple : Regardons le cas du lancer d’un dé équilibré et l’évènement A « obtenir 6 ». Nous connaissons ici la probabilité de A : P(A)=1/6≈0,1667.
Regardons une simulation de plusieurs lancers (avec un programme informatique) :
Pour 100 lancers : on obtient 18 fois le 6, soit une fréquence de 18/100 = 0,18.
Pour 1 000 lancers : on obtient 178 fois le 6, soit une fréquence de 178/(1 000) = 0,178.
Pour 10 000 lancers : on obtient 1 710 fois le 6, soit une fréquence de (1 710)/(10 000) = 0,1710.
Plus on lance le dé, plus la fréquence se rapproche de la probabilité théorique !

Un entraineur souhaite analyser les performances de ses joueurs lors de tirs au but.
Il regarde pour cela les statistiques de son équipe sur un grand nombre de match :
10 derniers tirs au but : 8 buts 50 derniers : 32 buts
100 derniers : 69 buts 200 derniers : 146 buts
1. Calcule la fréquence du nombre de buts marqués dans chaque cas.

2. A combien l’entraineur pourrait-il estimer la probabilité de marquer un tir au but ?

3. Si l’entraineur souhaite connaitre de façon plus précise cette probabilité, comment pourrait-il procéder ?
Youssef possède une pièce de monnaie et souhaite savoir si celle-ci est équilibrée. Pour cela, il la jette plusieurs fois et calcule au fur et à mesure les fréquences d’apparition de « pile ». Il réalise alors le graphique suivant.

1. Quelle est la fréquence d’apparition de « pile » pour 5 lancers ? Pour 20 lancers ?

2. Quelle serait la probabilité théorique d’obtenir pile si sa pièce est équilibrée ? Justifie précisément.

3. Que pourrait-on déduire de ces résultats ?

Ayant un doute sur les résultats, il décide de refaire l’expérience mais avec un nombre de lancers bien plus grand.

4. Quelle est désormais la fréquence de pile pour 50 lancers ? Pour 300 lancers ?

5. Que penses-tu alors de sa pièce ?

Dans cet exercice, on étudie la probabilité de gain des deux jeux ci-contre.
1. On considère le jeu 1 : on pioche une boule au hasard dans ce sac et on note la lettre inscrite sur la boule choisie.
On considère qu’on a gagné si on pioche la lettre G.
Montrer que la probabilité de gagner avec ce jeu est de 2/5.

2. On considère le jeu 2 : on fait tourner la roue et on note le nombre inscrit sur le secteur pointé par la flèche. On considère qu’on a gagné si on s’arrête sur un nombre premier.
Quelle est la probabilité de gagner à ce jeu ?

3. a. Quel est le jeu qui présente la plus faible probabilité de gagner ?

b. Proposer une liste de boules à rajouter pour que la probabilité de gagner avec le jeu 1 soit de 1/4.

Pour aller plus loin.

Sur le site de , tu trouveras d’autres ressources pour réviser cette notion :

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Exercices type Brevet

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