Critères de divisibilité et résolution de problèmes - Cours : 11ème Harmos

Cours niveau : 11eme Harmos sur les critères de divisibilité et résolution de problèmes.

 Division euclidienne

Définition (division euclidienne de a par b) : a et b sont des nombres entiers positifs, avec b≠0. Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est trouver deux nombres entiers positifs q et r tels que a=b×q+r avec r<b.

Rappel : a=b×q+r

 Diviseurs et multiples d’un nombre

Définition : Si r=0, on obtient a=b×q. On dit que b est un diviseur de a ou que a est un multiple de b.

Remarque : S’il existe un nombre entier positif q tel que a=b×q, on dit non seulement que b est un diviseur de a ou que a est un multiple de b mais aussi que a est divisible par b ou que b divise a.

Exemple :
63=7×9 donc : ● 7 est un diviseur de 63. ● 7 divise 63.
● 63 est un multiple de 7. ● 63 est divisible par 7.

Remarque : Tout nombre entier positif possède au moins deux diviseurs.

Définition (nombre premier) : Un nombre premier est un nombre entier positif qui possède exactement deux diviseurs distincts : lui-même et 1.

 Critères de divisibilité

● Si un nombre a se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8, alors a est divisible par 2.
● Si la somme des chiffres du nombre a est divisible par 3, alors a est divisible par 3.
● Si le nombre formé par les deux derniers chiffres d’un nombre a est divisible par 4, alors a est divisible par 4.
● Si un nombre a se termine par 0 ou 5, alors a est divisible par 5.
● Si un nombre a est divisible par 2 et par 3, alors a est divisible par 6.
● Si la somme des chiffres du nombre a est divisible par 9, alors a est divisible par 9.
● Si un nombre a se termine par 0, alors a est divisible par 10.
Méthodes pour déterminer tous les diviseurs d’un nombre en utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers.

Exemple : trouve tous les diviseurs de 270 et 180 :

270 = 2 x 135
= 2 x 5 x 27
= 2 x 5 x 3 x 9
= 2 x 3 x 3 x 3 x 5

Pour trouver tous les diviseurs d’un nombre à partir de sa décomposition en produits de facteurs premiers, il te faut ensuite multiplier chaque combinaison unique de ces facteurs premiers ensemble :

2 x 3 = 6
2 x 3 x 3 = 18
2 x 3 x 3 x 3 = 54
3 x 3 = 9
3 x 3 x 3 = 27
3 x 3 x 3 x 5 = 135
2 x 5 = 10
3 x 5 = 15
3 x 3 x 5 = 45
2 x 5 x 3 = 30
2 x 3 x 3 x 5 = 90

On obtient ainsi l’ensemble des diviseurs de 270 : 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 30, 45, 54, 90, 135 et 270.

180 = 2 x 90
= 2 x 2 x 45
= 2 x 2 x 5 x 9
= 2 x 2 x 3 x 3 x 5

2 x 2 = 4
2 x 2 x 3 = 12
2 x 2 x 3 x 3 = 36
2 x 3 = 6
2 x 3 x 3 = 18
2 x 3 x 3 x 5 = 90
2 x 5 = 10
3 x 5 = 15
3 x 3 x 5 = 45
3 x 3 = 9
2 x 2 x 5 = 20
2 x 2 x 3 x 5 = 60

On obtient ainsi l’ensemble des diviseurs de 180 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180.

Méthodes pour déterminer le plus grand diviseur commun à deux nombres.

Pour ensuite trouver le plus grand diviseur commun à ces deux nombres, trouve et multiplie les nombres premiers qui sont communs aux deux décompositions :
270 = 2 x 3 x 3 x 3 x 5
180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5
2 x 3 x 3 x 5 = 90 → Le plus grand diviseur commun à 270 et 180 est 90.

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