Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers - avec Mon Pass Maths : 11ème Harmos

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Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers : 11eme Harmos

Les nombres premiers : introduction.
Décomposer un nombre en un produit de facteurs premiers.
Simplifier des fractions avec la décomposition en produit de facteurs premiers.
Questions de brevet.
Pour aller plus loin.

Les nombres premiers : introduction.

Déterminer si un nombre est premier ou non.

Il n’existe pas de façon simple au collège de déterminer si un nombre est premier ou non mais plusieurs solutions peuvent t’aider à réaliser cet exercice.

– Les nombres pairs (sauf 2 !) ne sont pas premiers.

– tu peux t’aider des critères de divisibilité :
Exemple : 117 → on sait que si la somme des chiffres d’un nombre est divisible par 9, alors ce nombre est divisible par 9. 117 n’est donc pas premier.

– Une autre solution consiste à tester tous les diviseurs d’un nombre n compris entre 2 et √n.

Exemple : pour déterminer si 35 est premier ou non, nous devons tester tous les diviseurs compris entre 2 et √35≈5,9.
35 n’est pas divisible par 2, ni par 3, ni par 4 mais est divisible par 5. Il n’est donc pas premier.

Voici la liste des 25 nombres premiers inférieurs à 100. Il te faut connaitre au moins les 10 premiers par cœur.
2, 3, 5, 7 11, 13, 17, 19 23, 29

31, 37 41, 43, 47 53, 59 61, 67 71, 73, 79 83, 89 et 97

Vrai ou faux ? Coche la bonne réponse.

Questions Vrai Faux
Le nombre 1 est un nombre premier.
Le nombre 2 est un nombre premier.
Il existe une infinité de nombres premiers pairs.
Il existe une infinité de nombres premiers impairs.
Le nombre 1024 est un nombre premier.
Le nombre 3 est le plus petit nombre premier.

Parmi les nombres suivants, colorie les 10 premiers nombres premiers. Retiens-les.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Sans utiliser de calculatrice, trouve et entoure par élimination le seul nombre premier qui se cache dans la liste suivante. Explique ton raisonnement.

5 665 / 2 061 / 233 / 99 / 63 568

Procède par élimination en appliquant les critères de divisibilité pour trouver les nombres premiers de cette liste.

15 14 205 37 61 57 48
108 402 201 25 212 59 39
71 72 201 104 49 618 2
97 31 231 000 43 81 89

Décomposer un nombre en un produit de facteurs premiers.

Cela peut paraître étonnant mais n’importe quel nombre entier positif se décompose (de façon unique) en un produit de facteurs premiers. Observe :

Exemple : on peut écrire 90=2×45=2×3×15=2×3×3×5

Décomposer un entier positif en un produit de facteurs premiers, exemple avec le nombre 420.

Etape ① : note un mémo rapide des 10 premiers nombres premiers que tu dois connaitre :
2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 – 17 – 19 – 23 – 29.
420 2 Commence par diviser le nombre à décomposer par le premier nombre premier de la liste : 2.
420 ÷ 2 = 210. Reporte ce nombre sous 420.
210 2 210 est également divisible par 2.
210 ÷ 2 = 105.
105 2 3 105 n’est pas divisible par 2. Lorsque ce n’est pas possible, on teste le nombre premier suivant dans la liste : 3.
105 ÷ 3 = 35.
35 3 5 35 n’est pas divisible par 3. On passe donc au nombre premier suivant : 5.
35 ÷ 5 = 7
7 5 7 7 n’est pas divisible par 5. On passe donc au nombre premier suivant : 7.
7 ÷ 7 = 1 Dès qu’on obtient 1, c’est terminé !
Etape ② :

Etape ③ : La décomposition de 420 en un produit de facteurs premiers est donc :
420 = 2 x 2 x 3 x 5 x 7 = 22 x 3 x 5 x 7

Vérification : Multiplie tous les facteurs premiers obtenus pour vérifier que le produit est bien le nombre initial.

Cette méthode est SYTEMATIQUE et fonctionne pour TOUS les nombres entiers.

Décompose les nombres suivants en produits de facteurs premiers en appliquant la 1ère méthode.

Décomposer les nombres suivants en produits de facteurs premiers avec la méthode 2.

1. On souhaite décomposer le nombre 14 161 en un produit de facteurs premiers. Le nombre 14 161 est-il divisible par 2 ? Par 3 ? Par 5 ? Explique.

2. Teste à la calculatrice la divisibilité de 14 161 par 7, 11 et 17.

3. Déduis-en la décomposition en un produit de facteurs premiers du nombre 14 161.

Simplifier des fractions avec la décomposition en produit de facteurs premiers.

La décomposition en un produit de facteurs premiers est notamment utile pour simplifier une fraction.

Simplifier une fraction en utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers

Exemple : Simplifie la fraction 210/75.

Etape ① : décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers :

210 = 2×105=2×3×35=2×3×5×7

75=3×25=3×5×5

Etape ② : Remplace dans la fraction, barre ce qu’il y a de commun en haut et en bas et multiplie les facteurs restants : 210/75=(2 × 3 × 5 × 7)/(3 × 5 × 5)=14/( 5)

1) Décompose les nombres suivants en produits de facteurs premiers :

2) Utilise les décompositions précédentes pour simplifier les fractions suivantes comme dans l’exemple : 20/105=(2×2 ×5 )/(3×5 ×7)=(2×2 )/(3×7)=(4 )/21

1. Décompose les nombres suivants en produits de facteurs premiers.

2. Déduis-en les simplifications des fractions suivantes.

a. 840/2310 b. 644/840 c. 1575/2310

Questions de brevet.

1. Décomposer en produit de facteurs premiers le nombre 780. Aucune justification n’est attendue.

2. Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, trois réponses (A, B ou C) sont proposées.
Une seule réponse est exacte.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Question Réponse A Réponse B Réponse C
2. Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 126 ? 2×9×7 2^2×5^2+2×13 2×3^2×7

3. […]
Le professionnel et l’amateur partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours de circuit.
On rappelle que le professionnel effectue un tour en 60 s et l’amateur en 72 s.
a. Décomposer 60 et 72 en produit de facteurs premiers.

Pour aller plus loin.

Sur le site de , tu trouveras d’autres ressources pour réviser cette notion :

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Exercices type Brevet

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