Fractions - Quotients - Cours : 9eme Harmos

Fractions – Quotients : 9eme Harmos – Cours

Multiples et diviseurs :

Définition : Soient a et b deux nombres entiers positifs.

Si le reste de la division de a par b est égal à zéro, alors : – a est un multiple de b,

– b est un diviseur de a,

– a est divisible par b.

Ex : 18 est un multiple de 3, car 18 = 6 x 3

Ainsi, 3 est un diviseur de 18, ou 18 est divisible par 3.

Mais, 23 n’est pas un multiple de 3, car 23 = 7 x 3 + 2

Critères de divisibilité :

Pour savoir si un nombre donné est divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ou 10, on utilise les critères suivants :

• Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8

• Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3

• Un nombre est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4

• Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.

• Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9

Ex : Le nombre 2580

– est divisible par 2, car il se termine par le chiffre 0.

– est divisible par 3, car 2 + 5 + 8 = 15 qui est un multiple de 3.

– est divisible par 4, car ses deux derniers chiffres forment le nombre 80, qui est multiple de 4.

– est divisible par 5, car il se termine par le chiffre 0.

– n’est pas divisible par 9, car 2 + 5 + 8 = 15 qui n’est pas un multiple de 9.

Fractions égales :

En effet, il existe différentes écritures fractionnaires pour un même nombre.

Propriété : On ne change pas la valeur d’une fraction en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

Si a, b et k sont trois nombres relatifs (avec b et k différents de 0), on a :

Propriété : Simplifier une fraction signifie trouver une fraction qui lui est égale, mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
Définition : Lorsque l’on ne peut plus simplifier la fraction, on dit que celle-ci est irréductible

Ex : qui est irréductible.

Exprimer une proportion :

On a partagé un rectangle en cinq parts égales.

On a colorié une part du rectangle, ce qui représente un cinquième du rectangle.

On a colorié deux parts du rectangle, ce qui représente deux cinquièmes du rectangle.

On a colorié cinq parts du rectangle, qui représente sa totalité.

On a colorié six parts du rectangle, ce qui représente six cinquième du rectangle.

Vocabulaire :

– Quand on partage en deux parts égales, on obtient des demis,

– Quand on partage en trois parts égales, on obtient des tiers,

– Quand on partage en quatre parts égales, on obtient des quarts,

– Quand on partage en cinq, six, sept, .., dix,. . ., cent parts égales, on obtient des cinquièmes, sixièmes, septièmes,. . ., dixièmes,. . ., centièmes,. . ..

Diviser deux nombres décimaux :

Méthode:

Pour diviser par un nombre décimal,

– on commence par rendre le diviseur entier en le multipliant par 10, 100, 1000,. . .

– on multiplie alors le dividende par le même nombre (10, 100, 1000 . . . )

– on effectue la division obtenue.

Ex :

Comparer des fractions :

Comparer deux nombres c’est savoir lequel est le plus grand, lequel est le plus petit, ou s’ils sont égaux.

Comparer deux fractions ayant le même dénominateur :

Si deux nombres en écriture fractionnaire ont le même dénominateur, alors celui qui a le numérateur le plus grand, est le plus grand.

Ex : car 6 > 2.

Comparer deux fractions ayant le même numérateur :

Si deux nombres en écriture fractionnaires ont le même numérateur, alors celui qui a le dénominateur le plus grand, est le plus petit.

Ex : car 4 < 8.

Comparer deux fractions quelconques :
-Si, le dénominateur de l’une est un multiple du dénominateur de l’autre, alors on réduit les deux fractions au même dénominateur. Puis on compare comme précédemment.

Ex : et donc car 3 < 25.

-Sinon, il est parfois utile de comparer des nombres en écriture fractionnaire en effectuant les quotients, et en comparant leurs valeurs (exactes ou approchées).

Ex : et donc