Généralités sur les fonctions et tableaux de valeurs - avec Mon Pass Maths : 11ème Harmos

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Généralités sur les fonctions et tableaux de valeurs : 11eme Harmos

Introduction à la notion de fonction.
Tableau de valeurs.
Représentation graphique d’une fonction.
Questions de brevet.
Pour aller plus loin.

Introduction à la notion de fonction.

Une fonction f (qui peut également être nommée avec une autre lettre comme g,h, etc.) est un objet mathématique qui permet d’associer à un nombre quelconque de départ x, un unique nombre d’arrivée y.

On écrit alors :

Soit f une fonction et x et y 2 nombres tels que f(x)=y. On dit alors que :
① x est l’antécédent de y par f. Un nombre peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents !
② y est l’image de x par f. L’image d’un nombre est toujours unique !

Exemple :

On considère la fonction g qui à un nombre quelconque associe son carré. On a alors la fonction : g(x)=x^2

Si x=3, on a alors g(3)=3^2=9
→ L’image de 3 est 9.
Si x=-3, on a alors g(3)=〖(-3)〗^2=9
→ L’image de – 3 est 9.
→ Les antécédents de 9 sont 3 et – 3.

On considère le programme de calcul suivant :
1. Ecris ce programme de calcul sous forme de fonction que nous nommerons p.
2. Calcule p pour x=5 ; x=-3 et x=0.

Traduis chaque situation par une fonction.
1. f donne le périmètre d’un rectangle de longueur x et de largeur 3 cm :
2. g donne le coût d’une communication de téléphone à l’étranger : 1,5 € de l’heure :
3. h donne le prix d’un abonnement au cinéma : 20 € d’inscription puis 5 € la place de cinéma :

1. Traduis chacune des égalités par une phrase contenant le mot « image » comme dans l’exemple.
f(2)=1/2 : L’image de 2 par f est 1/2 .

g(4)=6 : ………..

h(5/6)=-4 : …….

2. Traduis chacune des égalités par une phrase contenant le mot « antécédent » comme dans l’exemple.

i(-6)=0 : Un antécédent de 0 par i est – 6.

j(0)=-7,2 : ………..

k(4)=16 : …………

3. Traduis chaque phrase par une égalité comme dans l’exemple.

L’image de 15 par la fonction g est – 4 : g(15)=-4

Un antécédent de – 5 par h est 2/3 : ….

18 a pour antécédent – 6 par f : …………
La société Delta souhaite construire une piscine avec la forme de leur logo : un triangle.
1. Exprime l’aire de cette piscine en fonction de x par la fonction A.

2. Calcule A(14) et A(17). Le directeur souhaite une piscine d’au moins 100 m2. Laquelle des deux longueurs choisira-t-il pour x ?

Voici deux formules de location de vélos électriques :
Société A : Le prix de la location d’un vélo est composé d’un tarif fixe de 5 euros plus un coût de 12 euros par heure de location.
Société B : le prix est fixé en fonction de la durée : 15 euros de l’heure.
1. Exprime les deux tarifs de location par deux fonctions A(x) et B(x).
2. Calcule le tarif à régler pour 1 heure puis 4 heures de location pour les sociétés A et B.

Le rendement R d’un moteur thermique dépend de la température T° (en degrés Celsius) de la chambre de combustion. Pour un certain type de moteur, le rendement est calculé de la manière suivante : multipliez la température T par 0,5 puis ajoutez 10 pour tenir compte des pertes d’énergie.
1. Écrire la fonction R(T) qui donne le rendement en fonction de la température T.
2. Calculer le rendement du moteur pour les températures suivantes : 50°C et 100°C.

Tableau de valeurs.

Construire un tableau de valeurs.

Pour tracer la représentation graphique d’une fonction (que nous aborderons dans les chapitres suivants), il faut en tout premier lieu créer un tableau de valeurs regroupant un certain nombre de couples antécédent / image.

On met pour cela les antécédents (que l’on choisit) dans une première ligne et les images (que l’on calcule en appliquant la fonction) dans une seconde.

Exemple : Prenons la fonction f(x)=2x+1.
Choisissons -2 ; -1 ; 0 ; 1 et 2 comme antécédents et calculons leurs images par f :
x (antécédents) -2 -1 0 1 2
f(x) (images) -3 -1 1 3 5

Remarques :
① On calcule f(-2) en remplaçant x par -2 : f(-2)=2×(-2)+1=-4+1=-3.
② On peut lire dans le tableau que l’image de 1 par f est 3 mais aussi qu’un antécédent de 5 par f est 2.

Grâce au tableau de valeur, on peut ainsi construire la représentation graphique de la fonction f (ou graphe, ou courbe de la fonction) qui est l’ensemble des points de coordonnées (x ;f(x) ou (x ;y) ! Nous verrons cela dans les prochains chapitres.

1. Complète le tableau de valeurs suivant de la fonction f définie par f(x)=3x+6.
x -3 -2 0 2 4
f(x)

2. On considère le programme de calcul suivant :
a. Ecris la fonction p correspondante :
b. Crée un tableau de valeur correspondant avec 3 couples antécédent/image de ton choix :

x
p(x)
Voici le tableau de valeurs de la fonction g définie par g(x)=x^2-3.
x -2 -1 0 1 2 3
g(x) 1 -2 -3 -2 1 6

a. Quelle est l’image de 1 par g ? …………………………………..
b. Quel nombre a pour image -3 par g ? …………………………
c. Donne 2 antécédents de -2 par g. ……………………
d. Que vaut g(2) ? ………………….
e. Donne un nombre a tel que g(a)=6 ? ………………………….

On s’intéresse à la fonction f définie par f(x)=x^2+2x+2
1. Construis un tableau de valeurs pour x=-2 ;x=-1 ; x=0 ;x=4 et x=5
x
f(x)

2. Est-il vrai que 2 possède un unique antécédent par f ?

1. Un élève souhaite créer la représentation graphique de la fonction f(x)=-2x. Complète ce tableau.

x -4 -1 3
f(x) 6 4 0 -2 -4 -8

2. Une fois le tableau de valeurs établi, on peut tracer la représentation graphique de la fonction dans un repère orthonormé. Pour cela, il suffit de placer les points de coordonnées (x ; y) :
– x qui correspond à l’antécédent et qu’on place sur l’axe des abscisses,
– et f(x) qui correspond à y et qu’on place sur l’axe des ordonnées.

a. Par la fonction f(x), quelle « image / ordonnées » possède le point d’abscisse x=-3 ?
b. Donne les coordonnées complètes du point qui a pour ordonnée y=-8.
c. La droite passe-t-elle par l’origine du repère ?

Représentation graphique d’une fonction.

Voici quelques exemples de représentations graphiques de différentes fonctions :

Dans le chapitre suivant, tu apprendras à tracer et à lire la représentation graphique d’une fonction.
En troisième, tu étudieras plus particulièrement les deux premières : les fonctions affines et linéaires.
Rappelle-toi que dans l’exécution d’une fonction, un nombre a toujours une seule image.
La représentation ci-contre ne peut donc pas être la représentation d’une fonction car ici, le point pour lequel x=0 a 2 images : 2 et -2 et c’est impossible !

Parmi les représentations graphiques suivantes, lesquelles représentent des fonctions mathématiques ?

Questions de brevet.

On considère le programme de calcul suivant :

1. Montrer que si 3 est le nombre de départ, le programme donne un résultat égal à 90.

2. Un élève choisit 2 comme nombre de départ et un autre élève choisit −2.
Montrer qu’ils doivent obtenir le même résultat.

3. Si on nomme x le nombre de départ, montrer que le résultat du programme peut s’écrire 10x^2.

Pour aller plus loin.

Sur le site de , tu trouveras d’autres ressources pour réviser cette notion :

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Exercices type Brevet

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