Racine carrée – Cours : 11ème Harmos – PDF à imprimer

       Racine carrée : 11eme Harmos – Cours

I.            Racine carrée d’un nombre positif

–          Définition : La racine carrée d’un nombre positif a est le seul nombre positif b dont le carré est égal à a : si b² = a alors b =.

ð  Par définition, on a donc avec a ≥ 0,  ≥ 0 et () ² = a

–          Vocabulaire :
Le symbole √ est appelé radical.
Dans l’expression, a est appelé radicande.
Les nombres positifs dont la racine carrée est un entier sont appelés carrés parfaits.

–          Remarque importante : Les nombres négatifs n’ont pas de racine carrée.

Exemples :

= 5 car 5² = 25                             = 3 car 3² = 9                                  = 1 car 1² = 1                            = 0 car 0² = 0

     II.            Règles de calcul

Propriétés générales :

–         Propriété n° 1 =

Exemples :
avec a = 2 > 0                                                    avec a = -3 < 0                                                                                 avec a =  > 0

–          Propriété n°2 = Le produit de deux racines carrées est égal à la racine carrée du produit :

Exemples :

–          Propriété n°3 = Le quotient de deux racines carrées est égal à la racine carrée du quotient :
pour a > 0 et b > 0

Exemples :

• Équation du type x² = a

–         L’équation x² = a où x est l’inconnue, possède 0, 1 ou 2 solutions suivant le signe de a.

ð  Si a < 0 alors l’équation n’admet aucune solution

ð  Si a = 0 alors l’équation admet une solution : x = 0

ð  Si a > 0 alors l’équation admet deux solutions : x₁ =  et x₂ =

Exemples :

x² = 3 avec a = 3 > 0
donc l’équation admet deux solutions : x₁ =  et x₂ =

x² = 0 avec a = 0
donc l’équation admet une seule solution : x = 0

x² = – 7 avec a = – 7 < 0
donc l’équation n’admet aucune solution

  III.            Utilisation des identités remarquables

–          Factorisation et développement : la présence de racines carrées dans des expressions numériques ou algébriques n’entraine aucune modification des règles que l’on utilise pour les développements et les factorisations.

Exemples :

A = (
: Utilisation de l’identité remarquable (a + b) ² = (a² + 2ab + b²)

B = (
: Utilisation de l’identité remarquable (a – b) ² = (a² – 2ab + b²)

C = (
: Utilisation de l’identité remarquable (a + b) (a – b) = a² – b²

–          Éliminer le radical du dénominateur d’une fraction :

A =

ð  Multiplication du numérateur et du dénominateur par le conjugué du dénominateur.

B =

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