Systèmes d’équations : 11eme Harmos – Cours – Equations
I. Équations
- Rappels généraux
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les solutions.
Soit a, b et x des nombres relatifs où x est l’inconnue :
– L’équation a + x = b ; a une seule solution : x = b – a.
– L’équation ax = b a une seule solution : x =
Exemples : Résoudre les équations suivantes.
x + 2 = 4 8x = 16 2x + 3 = 7
x = 4 – 2 = 2 x = = 2 2x = 7 – 3 ó 2x = 4 óx = = 2
Vérifions : 2 + 2 = 4 Vérifions : 8×16 Vérifions : 2×2 + 3 = 7
- Rappel sur la résolution d’équations du type (ax + b)(cx + d) = 0
Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :
ð Si a × b = 0, alors a = 0 ou b = 0
ð Si a = 0 ou b = 0, alors a × b = 0
Exemple : Résoudre les équations suivantes.
(x +7)(3x+8) = 0
Un produit et nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul
x + 7 = 0 si x = – 7
3x + 8 = 0 si x =
Cette équation admet donc deux solutions x1 = – 7 et x2 =
II. Systèmes de deux équations
- Systèmes d’équations
– Définition : Un système d’équations est un ensemble de plusieurs équations relatives à un même problème.
– Intérêt : Un système d’équations permet de résoudre des problèmes dans lesquels il y a plusieurs nombres inconnus.
Exemple :
est un système d’équations. On cherche la valeur des nombres relatifs x et y.
Le programme de troisième, contient uniquement la résolution de systèmes de deux équations à deux inconnues.
- Systèmes d’équations à deux inconnues
Soit un système d’équation de la forme avec a, b, c, d, e et f des nombres relatifs et x et y deux inconnues.
Il existe deux méthodes permettant de résoudre ce système d’équations :
Exemple : Soit le système d’équations suivant
– Méthode 1 : Méthode dite de substitution
1) Isoler l’une des deux inconnues dans l’une des deux équations.
Isolons x dans l’équation (1) :
2) La remplacer dans l’autre équation.
Remplaçons x par 3 – 5y dans l’équation (2) :
3) Résoudre l’équation à une inconnue.
Résolvons l’équation (2) :
4) Réduire l’équation à deux inconnues, à une équation à une seule inconnue grâce à l’étape précédente.
Remplaçons y par – 1 dans l’équation (1) :
Le système a pour solution, le couple (x ; y) = (2 ; – 1).
– Méthode 2 : Méthode dite de combinaisons linéaires
1) Multiplier l’une des deux équations, de sorte d’avoir le même coefficient devant l’une des deux inconnues dans les deux équations.
Multiplions l’équation (1) par 2 :
2) Soustraire les deux équations.
Soustrayons l’équation (1) à l’équation (2) :
3) En déduire la valeur d’une inconnue.
Déduisons-en la valeur de y.
y = – 1
4) Réduire l’équation à deux inconnues, à une équation à une seule inconnue grâce à l’étape précédente.
Remplaçons y par – 1 dans l’équation (1) :
Le système a pour solution, le couple (x ; y) = (2 ; – 1).
